چگونه ممکن است یک فضا منحنی باشد؟

یکی از گیج کننده ترین و تناقض آمیزترین کلماتی که در ریاضیات و فیزیک کاربرد دارد فضای منحنی است. (1) همه ما می دانیم معنی یک خط با یک سطح منحنی چیست اما خود فضا چطور؟
حتی اگر کسی احساس کند می تواند درکی از مفهوم فضای 3 بعدی تابیده و منحنی را با کمک مقایسه آن با سطح خمیده، به دست آورد اما ما تا زمانی که در فضایی 4 بعدی قرار نگیریم نمی توانیم درکی از چگونگی خمیدگی فضای 3 بعدی به طور شهودی به دست آوریم. شاید آن هنگام بتوانیم کشف کنیم که جهان ما یک رویه سه بعدی از فضای 4 بعدی است که حداقل ویژگی آن، خمیدگی خواهد بود.
البته چنین موضوعی غیرممکن است و ما نمی دانیم چگونه می توان بیرون از جهان ایستاده و به آن نگریست، تنها مدارکی که می توان به مبنای آن از واقعیت جهان سخن گفت همان هایی است که درون این جهان وجود دارد. حال پرسش این است که چه مدارکی ممکن است ما را به این نتیجه گیری برساند که جهان منحنی و خمیده است؟
برای پاسخ دادن به این پرسش اگر شیوه مجرد را در پیش بگیریم راحت تر خواهد بود. بیایید به جای آنکه خود را درگیر یک بازی ژیمناستیک غیرعادی ذهنی کنیم تا به ماهیت خمیده فضا پی ببریم از روش توسیع ریاضیاتی پیروی کنیم.
ما کلمه « خمیده » یا منحنی را هنگامی که به سطح دو بعدی محدود شود را به خوبی درک می کنیم. برای اینکه بتوانیم آن را در بستری غیرعادی که در این مورد فضای سه بعدی است درک کنیم لازم است مانند کاری که در مورد بعد انجام دادیم، ویژگی های این انحنا را در فضای دو بعدی به دست آورده و آن را توسعه دهیم.
از آنجا که در فضای سه بعدی ما تنها ابزارهایی که در اختیار داریم تا در مورد انحنا صحبت کنیم به داخل آن فضا بازمی گردد پس لازم است که در استخراج ویژگی های مورد نظر در سطح دو بعدی هم آن ویژگی هایی را بررسی کنیم که از داخل سطح قابل تشخیص و بیان باشد.
برای مثال ما چگونه می توانیم خود را راضی کنیم که سطح زمین خمیده است؟ یک راه این است که سوار یک شاتل فضایی شویم و به فضا برویم و حالت کروی زمین را مستقیماً رصد و مشاهده کنیم. این آزمایش اگرچه بسیار متقاعد کننده خواهد بود، اما نیازمند استفاده از بعدی بالاتر ( بعد سوم ) و خروج از سطح است.
حال بیایید کار دیگری انجام دهیم. بیایید سفری را از نقطه قطب شمال آغاز کنید و 6200 مایل به جنوب پیش روید. سپس محل را علامت زده و به سمت چپ بچرخید و همین مقدار را طی کنید بار دیگر 90 درجه به سمت چپ چرخیده و همین فاصله را طی کنید. 6200 مایل فاصله متوسط قطب شمال تا استوا است؛ بنابراین این سفر شما را از قطب شمال به استوا می رساند و سپس یک ربع دایره شما را روی استوا به شرق می برد و سپس دوباره به قطب شمال می رساند. این در حالی است که جهتی که شما در طی آن به قطب شمال باز می گردید عمود بر مسیری است که سفر خود را از آن شروع کرده اید. این آزمایش این مسأله را به شما نشان می دهد که روی زمین مثلثی استوایی وجود دارد که هر یک از زوایای آن قائمه هستند. اما روی سطح صاف زوایای یک مثلث متساوی الاضلاع 60 درجه خواهند بود. از آن جایی که در این مثلث رسم شده روی زمین مجموع اضلاع بیشتر از 180 درجه است پس سطح زمین یک سطح مسطح غیرتخت است.
بنابراین یک راه فهمیدن اینکه یک سطح دو بعدی سطحی خمیده است، آن است که مثلثی را روی آن پیدا کنید که مجموع زوایای آن بیشتر از 180 باشد و این کاری است که می توان مشابه آن را در حالت سه بعدی نیز انجام داد. من در این فصل درباره هندسه اقلیدسی، کروی و هذلولی در حالت دو بعدی بحث کردم، اما این هندسه ها را می توان به سادگی به فضای سه بعدی هم تعمیم داد. بنابراین اگر ما زوایای مثلثی را در حالت سه بعدی تعیین کرده و مشاهده کنیم مجموع این زوایا از 180 درجه بیشتر است. می توان حدس زد که این فضای سه بعدی بیش از آنکه شبیه یک فضای سه بعدی دکارتی باشد یک فضای خمیده است.
اگر چنین اتفاقی بیفتد می توانیم بگوییم فضای ما به طور مثبت خمیده است، خاصیت دیگری که می توان از این فضا انتظار داشت این است که خطوطی که از یک نقطه و در جهات مختلف رسم می شوند همگرا می شوند و در نهایت به هم می پیوندند، ویژگی دیگر نیز این است که محیط دایره ای با شعاع r برابر با نخواهد بود و اندکی کوچکتر از آن خواهد شد.
شاید این مسأله شما را به فکر وادارد که دست به چنین آزمایشی در فضای اطراف خود بزنید و همان طور که انتظار دارید خواهید دید که این ویژگی ها در فضای اطراف ما صادق نیستند.
خطوط در جهت های اولیه به حرکت خود ادامه می دهند. محیط دایره همان است و زوایای مثلث همان 180 درجه باقی می ماند. بدین ترتیب به نظر می رسد فضا رفتاری مسطح از خود نشان می دهد. چنین مسأله ای ممکن است به این دلیل باشد که ما تنها در بخش بسیار کوچکی از فضا حضور داریم کما این که سطح سیاره زمین هم در مقیاس های کوچک به نظر مسطح و یا در نهایت مسطحی با پستی و بلندی های بسیار به نظر بیاید.
به عبارت دیگر فضا احتمالاً به طور تقریبی تخت است. شاید اگر ما بتوانیم مثلثی بسیار بزرگ رسم کنیم متوجه شویم که مجموع زوایای آن 180 درجه نخواهد بود. این همان تلاشی بود که گاوس بدان دست زد.
اگرچه مثلث او به هیچ وجه در آن حد که لازم است بزرگ نبود. با وجود این در سال 1919 معروف ترین آزمایش تمام تاریخ علم نشان داد که این انحنا فضا یک ایده تخیلی و زاییده ذهن ریاضیدانان نیست بلکه حقیقتی واقعی است. بنا به نظریه نسبت عام اینشتین که 4 سال قبل از آن منتشر شده بود، فضا در اثر گرانش خمیده می شود و به همین دلیل نور همواره در خط مستقیم حرکت نمی کند. حداقل از دید هندسه اقلیدسی– اما اثر این انحنا آن قدر کوچک است که قابل تشخیص نیست، اما فرصتی در سال 1919 برای تأیید آن به دست آمده است. در آن هنگام کسوف کاملی در منطقه جزیره پرینسیپ (2) در خلیج گینه رخ داد. در هنگام وقوع این کسوف فیزیکدان برجسته، آرتور ادینگتون (3) تصاویری از ستاره های اطراف خورشید تهیه کرد. بررسی عکس ها نشان داد که ستاره ها همان طور که اینشتین پیش بینی می کرد در محلی که انتظار می رفت قرار نداشتند و اندکی جابه جا شده بودند.
اکنون کاملاً پذیرفته شده است که فضا ( یا به طور دقیق تر، فضا زمان ) خمیده است، اما همان طور که مشاهده کوه ها و دره های روی زمین و انحنای آنها بخش کوچکی از ساختار بزرگتر و متقارن تری است، در مورد فضا– زمان می تواند این گونه باشد. تعیین شکل ساختار بزرگ مقیاس عالم یکی از پرسش های اساسی است که تاکنون بدون پاسخ قطعی باقی مانده است. یعنی شکل کل عالم اگر تمام انحنای ناشی از ستاره ها، سیاه چاله ها و امثال آنها را از آن خارج کنیم. آیا هنوز چنین ساختاری منحنی است؟ آیا شبیه یک کره بزرگ است یا مسطح خواهد بود؟

تصویر شماره 37: یک مثلث هذلولی

البته احتمال دیگری هم وجود دارد و آن این است که جهان دارای انحنا یا خمیدگی منفی باشد. بدان معنی که انحنای آن معکوس انحنای مثبت باشد. ویژگی هایی از خمیدگی منفی فضا آن است که مجموع زوایای مثلث کمتر از 180 درجه شود. خطوط مستقیم که در یک جهت رسم می شوند از یکدیگر دور ( واگرا ) گردند و محیط دایره ای با شعاع r بیشتر از
باشد. چنین رفتارهایی را در قرص هذلولی می توانیم مشاهده کنیم. برای مثال شکل 37 مثلثی را نشان می دهد که مجموع زوایای آن کمتر از 180 درجه است. توسعه کره یا قرص هذلولی به ابعاد بالاتر کار دشواری نیست و به نظر می رسد ساختار هذلولی یکی از بهترین گزینه ها برای توصیف شکل بزرگ مقیاس فضا– زمان باشد.

منیفولدها

یک سطح بسته به معنی یک شکل دو بعدی است که هیچ مرزی ندارد. سطح یک کره مثال خوبی از یک سطح بسته به شمار می رود و همین طور یک چنبره. (4) از نظر ریاضیاتی سطح اشکالی مانند نعل، یا حلقه دونات مانند مثالی از این سطوح به حساب می آید. اگر بحث ها در خصوص انحنا را مرور کنید می بینید بسیار کارآمد است که درباره چنین سطوحی نیز بدون ارجاع دادن به فضای سه بعدی که این سطوح درون آن قرار دارند فکر کنیم. این موضوع بسیار مهمی است و اهمیت خود را به ویژه در جایی نشان می دهد که بخواهیم مفهوم سطوح بسته را به فضاهای بالاتر هم ارتقا دهیم.
بسیاری از مردم دوست دارند درباره سطوح به شکل دو بعدی بیاندیشند و این امر مختص ریاضیدانان نیست. برای مثال اگر جغرافیا را در نظر بگیرید متوجه می شوید که این رشته به شدت تحت تأثیر انحنای زمین قرار دارد. برای مثال کشور پهناوری مانند آمریکا انحنای زیادی را تجربه می کند اما اگر کسی بخواهد نقشه کارآمدی از جاده های این کشور رسم کند ای کار را بر روی کاغذ منحنی بزرگ انجام نمی دهد بلکه کتابی چندین صفحه ای آماده می کند که هر صفحه بخش کوچکی از کشور را تصویر می کند. نتیجه زمانی دقیق تر خواهد بود که هر صفحه با صفحات دیگر همپوشانی اندکی داشته باشد. بنابراین اگر مسیری به دلیل نزدیکی به لبه یکی از نقشه ها دچار اعوجاج شود در صفحه دیگر می توان آن را اصلاح کرد. و این همپوشانی صفحات به افزایش دقت کمک خواهد کرد. با وجود این هیچ یک از این صفحات به طور کامل دقیق نیست؛ اما می توان با رسم خطوط مشخص کننده طول و عرض های جغرافیایی انحنای جزیی هر صفحه را مشخص کرد. بدین ترتیب می توان جغرافیای کشوری مانند آمریکا را در کتابی با صفحات مسطح بیان و تصویر کرد.
هیچ مشکل اساسی برای تهیه اطلسی از کل جهان به این روش وجود ندارد ( غیر از این که تعدادی از صفحات باید به طور کامل آبی رنگ و به رنگ دریا منتشر شود ). بنابراین می توان خواص ریاضیاتی یک کره را به شکل بسته ها و قطعاتی درون یک کتاب جای داد. اگرچه با داشتن این کتاب شاید نتوانید به برخی از سؤالات هندسی درباره کره پاسخ دهید، اما در عوض منبعی در اختیار دارید که بسیار کارآمد است. شکل 36 یک اطلس 9 صفحه ای را نشان می دهد که نه از یک کره، بلکه از یک چنبره تهیه شده است. اگر می خواهید ببینید که چگونه این صفحات نقشه ای از یک شکل دونات مانند را در اختیار می گذارند آنها را مطابق فضاهای مشترک که مشخص شده است به هم بچسبانید و سپس با تا زدن صفحه بزرگ جدید یک استوانه درست کرده و در نهایت دو انتهای استوانه را به هم بچسبانید.
یکی از شاخه های مهم ریاضیات بررسی اشیایی است که به مینفولدها معروف هستند و از توسعه دیدگاه هایی که مورد بحث قرار گرفت به فضای سه بعدی یا بالاتر به دست می آیند. به طور کلی یک منیفولد –d بعد هر شی هندسی است که در آن هر نقطه با ناحیه ای همسایه است و به طور قابل قبولی می توان آن را به یک قطعه کوچک از فضای d بعدی دانست. از آنجا که تصور منیفولدها در ابعاد بالاتر بسیار دشوار می شود. می توان برای شرح آن از ایده اطلسی جغرافیایی استفاده کرد.

تصویر شماره ی 38: یک اطلس

بیایید فکر کنیم یک اطلس از منیفولدهای سه بعدی چگونه خواهد بود؛ مسلماً هر صفحه این اطلس باید سه بعدی باشد و مانند صفحات اطلس راه ها باید در عین حال تخت هم باشد. از آنجایی که من آنها را به شکل قطعاتی مشابه فضای هندسه اقلیدسی تقسیم کردم شاید کسی آنها را مکعب گونه هایی تصور کند، اما از نظر ریاضیات این موضوع چندان اهمیتی ندارد. هر یک از این صفحات سه بعدی باید نقشه بخشی از منیفولدها باشند و باید نحوه همپوشانی آنها به طور دقیق مشخص شود. یک روش معمول برای این مسأله آن است که نقطه ای مانند ( x,y,z-4 ) که در لبه صفحه مشخص A قرار دارد را با نقطه ای مانند ( 2Y,X,Z ) در صفحه B مربوط کنند.
اما چگونه کسی می تواند با در اختیار داشتن چنین اصلی تصوری از حرکت منیفولد به دست آورد؟ راه بدیهی برای این کار این است که به نقطه ای فکر کنید که روی یکی از صفحات قرار دارد.
اگر این نقطه به یکی از لبه های این صفحه برسد آنگاه می توان آن را در صفحه ی دیگری نیز یافت که دقیقاً در همان محل از منیفولدها قرار دارد. اما اگر نقطه مورد نظر در لبه نبوده می توان محل آن را در همان صفحه اول مشخص کرد. بنابراین تمام هندسه مورد نیاز در منیفولدها را می توان با کمک این ایده اطلس ها فرمول بندی کرد.
واقعاً لازم نیست به این فکر کنید که منیفولدی که نقشه آن را در دست دارید چگونه سطح سه بعدی است که در فضای چهاربعدی قرار دارد. در حقیقت حتی برخی از منیفولدهای سه بعدی را نمی توان با وصل کردن آن در فضای چهاربعدی تکمیل کرد.
چنین ایده ای درباره کاربردهای اطلس مانند سؤالاتی را برمی انگیزد. برای مثال اگرچه ما به کمک این روش می توانیم بگوییم که اگر درون یک منیفولد حرکت کنیم چه اتفاقی می افتد اما از چنین اطلسی با صفحات زیاد و قوانین پیچیده همپوشانی که دارد چه چیزی می توانیم حداقل درباره شکل پایه منیفولد بگوییم؟
چگونه می توان مشخص کرد که 2 اطلسی متفاوت، آیا یک منیفولد واحد را توصیف می کنند یا خیر؟ و آیا هیچ راهی وجود دارد که با یک نگاه به یک اطلسی سه بعدی بتوانیم بگوییم که منیفولدی که این اطلسی آن را بیان می کند یک سطح سه بعدی در فضایی چهار بعدی است؟ صورت بندی دقیق تری از این پرسش آخر به حدس پوانکاره معروف است که یکی از مسایل مهم و باز و حل نشده ریاضیات به شمار می رود که برای حل آن از سوی مؤسسه تحقیقات ریاضیات کلی ( clay ) یک میلیون دلار جایزه تعیین شده است.

پي‌نوشت‌ها:

1. Curved space
2. Principe
3. Arthur Eddington

منبع مقاله :
گاورز، تیموتی؛ ( 1391 )، ریاضیات، پوریا ناظمی، تهران: بصيرت، چاپ دوم